Tất cả các tiên đề Peano ngoại trừ tiên đề thứ chín (tiên đề quy nạp) là các mệnh đề trong logic bậc nhất.[7] Các phép toán số học của phép cộng và phép nhân và quan hệ thứ tự cũng có thể được xác định bằng các tiên đề bậc nhất. Tiên đề quy nạp có bậc hai, vì nó định lượng trên các vị từ (theo nghĩa tương đương, trên các tập hợp số tự nhiên chứ không phải trên các số tự nhiên), nhưng nó có thể được chuyển đổi thành sơ đồ tiên đề bậc nhất cho phép quy nạp. Một sơ đồ như vậy bao gồm một tiên đề cho mỗi vị ngữ định nghĩa được trong ngôn ngữ bậc nhất của số học Peano, khiến cho nó yếu hơn tiên đề bậc hai.[8] Lý do nó yếu hơn là vì số lượng vị từ trong ngôn ngữ bậc nhất là có thể đếm được, trong khi số lượng các tập hợp số tự nhiên là không đếm được. Do đó, tồn tại các tập hợp không thể được mô tả bằng ngôn ngữ bậc nhất (trên thực tế, hầu hết các tập hợp đều có thuộc tính này).

Các tiên đề bậc nhất của số học Peano có một hạn chế kỹ thuật khác. Trong logic bậc hai, có thể định nghĩa các phép toán cộng và nhân từ phép kế sau, nhưng điều này không thể được thực hiện trong cấu trúc hạn chế hơn của logic bậc một. Do đó, các phép toán cộng và nhân được bao gồm trực tiếp trong signature của số học Peano và các tiên đề được đưa vào có liên quan đến ba phép toán với nhau.

Danh sách các tiên đề sau (cùng với các tiên đề thông thường về quan hệ bằng nhau), chứa sáu trong số bảy tiên đề của số học Robinson, là đủ cho mục đích này: [9]

• ∀ x   ( 0 ≠ S ( x ) ) {\displaystyle \forall x\ (0\neq S(x))}
• ∀ x , y   ( S ( x ) = S ( y ) ⇒ x = y ) {\displaystyle \forall x,y\ (S(x)=S(y)\Rightarrow x=y)}
• ∀ x   ( x + 0 = x ) {\displaystyle \forall x\ (x+0=x)}
• ∀ x , y   ( x + S ( y ) = S ( x + y ) ) {\displaystyle \forall x,y\ (x+S(y)=S(x+y))}
• ∀ x   ( x ⋅ 0 = 0 ) {\displaystyle \forall x\ (x\cdot 0=0)}
• ∀ x , y   ( x ⋅ S ( y ) = x ⋅ y + x ) {\displaystyle \forall x,y\ (x\cdot S(y)=x\cdot y+x)}

Ngoài danh sách các tiên đề số này, số học Peano còn chứa sơ đồ quy nạp, bao gồm một tập hợp các tiên đề đếm được đệ quy. Đối với mỗi công thức φ(x, y1,..., yk) trong ngôn ngữ của Peano số học, tiên đề quy nạp bậc nhất cho φ là mệnh đề

∀ y ¯ ( ( φ ( 0 , y ¯ ) ∧ ∀ x ( φ ( x , y ¯ ) ⇒ φ ( S ( x ) , y ¯ ) ) ) ⇒ ∀ x φ ( x , y ¯ ) ) {\displaystyle \forall {\bar {y}}((\varphi (0,{\bar {y}})\land \forall x(\varphi (x,{\bar {y}})\Rightarrow \varphi (S(x),{\bar {y}})))\Rightarrow \forall x\varphi (x,{\bar {y}}))}

Ở đâu y ¯ {\displaystyle {\bar {y}}} là viết tắt của y 1,..., y k. Sơ đồ quy nạp bậc nhất bao gồm tất cả các dạng của tiên đề quy nạp bậc nhất, có nghĩa là, nó bao gồm các tiên đề quy nạp cho mỗi công thức φ.

Các hệ tiên đề tương đương

Có nhiều tiên đề khác nhau, nhưng tương đương, của số học Peano. Trong khi một số tiên đề, chẳng hạn như mô tả vừa mô tả, sử dụng signature chỉ có số 0 và các phép toán nhân, phép cộng, phép nhân; các hệ tiên đề khác sử dụng ngôn ngữ về nửa vành có thứ tự, và bổ sung thêm ký hiệu quan hệ thứ tự. Một hệ tiên đề như vậy bắt đầu với các tiên đề sau đây mô tả một nửa cung có thứ tự rời rạc.[10]

1. ∀ x , y , z   ( ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ) {\displaystyle \forall x,y,z\ ((x+y)+z=x+(y+z))} , tức là phép cộng có tính kết hợp.
2. ∀ x , y   ( x + y = y + x ) {\displaystyle \forall x,y\ (x+y=y+x)} , tức là phép cộng có tính giao hoán.
3. ∀ x , y , z   ( ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) ) {\displaystyle \forall x,y,z\ ((x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z))} , tức là phép nhân có tính kết hợp.
4. ∀ x , y   ( x ⋅ y = y ⋅ x ) {\displaystyle \forall x,y\ (x\cdot y=y\cdot x)} , tức là phép nhân có tính giao hoán.
5. ∀ x , y , z   ( x ⋅ ( y + z ) = ( x ⋅ y ) + ( x ⋅ z ) ) {\displaystyle \forall x,y,z\ (x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z))} , tức là phép nhân phân phối trên phép cộng.
6. ∀ x   ( x + 0 = x ∧ x ⋅ 0 = 0 ) {\displaystyle \forall x\ (x+0=x\land x\cdot 0=0)} , tức là số 0 là một phần tử đơn vị cho phép cộng và là một phần tử hấp thụ cho phép nhân (thực ra là thừa thãi [note 1]).
7. ∀ x   ( x ⋅ 1 = x ) {\displaystyle \forall x\ (x\cdot 1=x)} , tức là, một là một phần tử đơn vị cho phép nhân.
8. ∀ x , y , z   ( x < y ∧ y < z ⇒ x < z ) {\displaystyle \forall x,y,z\ (x<y\land y<z\Rightarrow x<z)} , tức là toán tử ' < ' mang tính bắc cầu.
9. ∀ x   ( ¬ ( x < x ) ) {\displaystyle \forall x\ (\neg (x<x))} , tức là toán tử ' < ' là không phản xạ.
10. ∀ x , y   ( x < y ∨ x = y ∨ y < x ) {\displaystyle \forall x,y\ (x<y\lor x=y\lor y<x)} , tức là, quan hệ thứ tự thỏa mãn luật tam phân.
11. ∀ x , y , z   ( x < y ⇒ x + z < y + z ) {\displaystyle \forall x,y,z\ (x<y\Rightarrow x+z<y+z)} , tức là quan hệ thứ tự được bảo toàn khi cộng thêm cùng phần tử vào hai vế.
12. ∀ x , y , z   ( 0 < z ∧ x < y ⇒ x ⋅ z < y ⋅ z ) {\displaystyle \forall x,y,z\ (0<z\land x<y\Rightarrow x\cdot z<y\cdot z)} , tức là quan hệ thứ tự được bảo toàn dưới phép nhân hai vế bởi cùng một phần tử dương.
13. ∀ x , y   ( x < y ⇒ ∃ z   ( x + z = y ) ) {\displaystyle \forall x,y\ (x<y\Rightarrow \exists z\ (x+z=y))} , cho hai phần tử khác nhau, phần tử lớn hơn là tổng của phần tử nhỏ hơn với một phần tử khác.
14. 0 < 1 ∧ ∀ x   ( x > 0 ⇒ x ≥ 1 ) {\displaystyle 0<1\land \forall x\ (x>0\Rightarrow x\geq 1)} , tức là không và một khác nhau và không có phần tử nào nằm giữa chúng.
15. ∀ x   ( x ≥ 0 ) {\displaystyle \forall x\ (x\geq 0)} , tức là 0 là phần tử nhỏ nhất.

Lý thuyết được định nghĩa bởi các tiên đề này được gọi là PA−; lý thuyết PA thu được bằng cách thêm sơ đồ quy nạp bậc nhất. Một tính chất quan trọng của PA− là bất kỳ cấu trúc nào M {\displaystyle M} thỏa mãn lý thuyết này có một đoạn mở đầu (được sắp bởi ≤ {\displaystyle \leq } ) đẳng cấu với N {\displaystyle \mathbf {N} } . Các phần tử trong đoạn đó được gọi là phần tử chuẩn mực, trong khi các phần tử khác được gọi là các phần tử không chuẩn mực.